级数的比较审敛法又叫什么

级数的比较审敛法又称比较审敛原理。

在数学分析中，级数的比较审敛法是一种重要的判别级数敛散性的方法。这种方法不仅简单易行，而且在实际应用中非常广泛。所谓的比较审敛法，实际上是一种通过将待判别的级数与一个已知敛散性的级数进行比较，从而推断出待判别级数敛散性的原理。

比较审敛法的别称“比较审敛原理”准确地反映了这一方法的核心思想。这个原理的基本思路是：如果我们能够找到一个已知敛散性的级数，与待判别的级数进行比较，那么根据两者的性质，我们可以推断出待判别级数的敛散性。

具体来说，比较审敛法有以下几种常见的应用形式：

1. 极限比较审敛法：这是比较审敛法最基本的形式。如果存在一个级数 \(\sum_{n=1}^{\infty} b_n\)，且 \(b_n > 0\)，以及一个已知敛散的级数 \(\sum_{n=1}^{\infty} a_n\)，使得 \(\lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{b_n} = L\)，其中 \(L\) 是一个非零有限数，那么：

如果 \(L > 0\)，那么 \(\sum_{n=1}^{\infty} a_n\) 和 \(\sum_{n=1}^{\infty} b_n\) 要么都收敛，要么都发散。

如果 \(L = 0\)，那么如果 \(\sum_{n=1}^{\infty} b_n\) 发散，那么 \(\sum_{n=1}^{\infty} a_n\) 也发散。

如果 \(L = \infty\)，那么如果 \(\sum_{n=1}^{\infty} b_n\) 收敛，那么 \(\sum_{n=1}^{\infty} a_n\) 也收敛。

2. 比值比较审敛法：这种方法通过比较级数项的极限比值来判断级数的敛散性。

3. 根值比较审敛法：与比值比较审敛法类似，这种方法通过比较级数项的根的极限来判断级数的敛散性。

比较审敛法的这些形式都基于一个共同的原理，即通过已知敛散性的级数作为比较标准，来判断待判别级数的敛散性。这种方法在数学分析中具有很高的实用价值，尤其是在处理一些复杂级数问题时，往往能够提供简洁而有效的解决方案。