正交矩阵是正定的吗

是的，正交矩阵是正定的。

正交矩阵是指一个方阵，其转置矩阵等于其逆矩阵，即如果 \( Q \) 是一个 \( n \times n \) 的正交矩阵，那么 \( Q^T = Q^{-1} \)。在实数域上，一个矩阵 \( A \) 被称为正定的，如果对于任意非零实数向量 \( x \)，都有 \( x^T A x > 0 \)。

正交矩阵具有以下性质，这些性质保证了它们是正定的：

1. 对称性：由于 \( Q^T = Q^{-1} \)，因此 \( Q \) 是对称的，即 \( Q^T Q = QQ^T = I \)，其中 \( I \) 是单位矩阵。

2. 特征值：正交矩阵的所有特征值都是 ±1。这是因为对于正交矩阵 \( Q \)，有 \( Qx = \lambda x \)（\( x \) 是特征向量，\( \lambda \) 是对应的特征值），从而 \( x^T Q^T Qx = \lambda^2 x^T x \)，即 \( 1 = \lambda^2 \)，所以 \( \lambda = \pm 1 \)。

3. 内积不变性：对于任意两个向量 \( x \) 和 \( y \)，有 \( x^T Qy = y^T Q^T x \)。由于 \( Q^T = Q^{-1} \)，这可以转化为 \( x^T Qy = y^T Qx \)，即 \( Q \) 保持向量之间的内积不变。

4. 正定性：由于正交矩阵的所有特征值都是正数（1），且对于任意非零向量 \( x \)，有 \( x^T Qx = (Q^T x)^T x = x^T Q^T x = x^T x \)，这里 \( x^T x \) 是 \( x \) 的欧几里得范数的平方，总是正的。因此，\( x^T Qx \) 也是正的，这意味着正交矩阵是正定的。

综上所述，正交矩阵不仅是正定的，而且由于其特殊的性质，它们在几何变换、信号处理、数值分析等领域有着广泛的应用。