证明若a不可逆,则伴随矩阵也不可逆

若矩阵 \( A \) 不可逆，则其伴随矩阵 \( A^* \) 也不可逆。

在矩阵理论中，一个矩阵 \( A \) 不可逆的数学定义是它的行列式 \( \det(A) = 0 \)。这意味着 \( A \) 没有逆矩阵，或者说不存在另一个矩阵 \( B \) 使得 \( AB = BA = I \)，其中 \( I \) 是单位矩阵。

伴随矩阵 \( A^* \) 是由 \( A \) 的代数余子式组成的矩阵，其第 \( i \) 列的第 \( j \) 行元素是 \( A \) 的第 \( j \) 行第 \( i \) 列元素的代数余子式。伴随矩阵的一个重要性质是，对于任意 \( n \times n \) 矩阵 \( A \)，都有 \( A \cdot A^* = A^* \cdot A = \det(A) \cdot I \)。

现在，我们来证明如果 \( A \) 不可逆，即 \( \det(A) = 0 \)，那么 \( A^* \) 也不可逆。

首先，由于 \( A \) 不可逆，我们知道 \( \det(A) = 0 \)。根据伴随矩阵的性质，我们有 \( A \cdot A^* = \det(A) \cdot I = 0 \cdot I = 0 \)。这意味着 \( A \cdot A^* \) 是一个零矩阵。

接下来，我们考虑 \( A^* \) 的行列式。由于 \( A \cdot A^* = 0 \)，我们可以应用行列式的性质：如果一个矩阵 \( B \) 乘以一个标量 \( \lambda \) 得到零矩阵，那么 \( \det(B) \cdot \lambda = 0 \)。因此，我们有 \( \det(A^*) \cdot \det(A) = \det(A \cdot A^*) = 0 \)。

由于 \( \det(A) = 0 \)，上式简化为 \( \det(A^*) \cdot 0 = 0 \)。这表明 \( \det(A^*) \) 必须等于 0，因为任何数乘以 0 都是 0。

既然 \( \det(A^*) = 0 \)，根据不可逆矩阵的定义，我们可以得出结论：伴随矩阵 \( A^* \) 也不可逆。因此，如果原矩阵 \( A \) 不可逆，那么它的伴随矩阵 \( A^* \) 同样不可逆。这个结论对于理解矩阵的逆和伴随矩阵的性质具有重要意义。