如何证圆的切线垂直于过切点的半径

在平面几何中，证明圆的切线垂直于过切点的半径是一个经典的几何问题。以下是一种证明方法：

1. 定义与假设：设圆心为O，圆上的切点为A，半径OA，切线为AB（B为切点）。我们需要证明∠OAB是直角。

2. 圆的定义：根据圆的定义，所有半径都等长，即OA = OB。

3. 切线的性质：根据切线的性质，切线与半径在切点处相交，并且相切。

4. 角度关系：由于OA和OB都是圆的半径，根据圆周角定理，在圆的同弧或等弧上，所对的圆周角相等。因此，∠AOB是圆周角，它所对的弧是整个圆，所以∠AOB是360度的角。

5. 三角形的角度和：在一个三角形中，所有内角的和为180度。由于∠AOB是圆周角，它所对的弧是整个圆，所以∠AOB不是三角形内的角。

6. 垂直的定义：根据垂直的定义，如果两条直线相交形成的四个角中有一个角是直角（即90度），那么这两条直线是互相垂直的。

7. 结论：由于OA和OB都是半径，OA = OB，根据切线的性质，AB是切线，因此∠OAB是直角。所以，切线AB垂直于半径OA。

通过以上步骤，我们证明了圆的切线垂直于过切点的半径。这个结论不仅适用于圆，也是解决许多涉及圆和切线的几何问题的基石。