向量a垂直向量b等于公式

两个向量a和b垂直（正交）的数学表达式为它们的点积（内积）等于0，即：

\[ \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = 0 \]

向量的点积（或内积）是向量运算中的一种，它结合了两个向量的长度和它们之间的夹角信息。对于两个三维向量 \(\mathbf{a} = (a_1, a_2, a_3)\) 和 \(\mathbf{b} = (b_1, b_2, b_3)\)，点积的计算公式为：

\[ \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3 \]

当两个向量垂直时，它们的夹角为90度，根据余弦定理，正交的两个向量的夹角余弦值为0。点积的几何解释是：向量a的长度乘以向量b在向量a方向上的投影长度，由于它们垂直，这个投影长度为0，因此点积的结果为0。

在二维空间中，向量的点积公式稍有简化，对于向量 \(\mathbf{a} = (a_1, a_2)\) 和 \(\mathbf{b} = (b_1, b_2)\)，点积公式为：

\[ \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = a_1b_1 + a_2b_2 \]

同样，当这两个向量垂直时，点积结果为0。

点积的性质和应用非常广泛，例如在物理学中用于计算力矩、在机器学习中用于计算相似度等。理解向量的垂直性及其与点积的关系，对于解决相关问题至关重要。

1、向量的叉积

向量的叉积（或外积）是另一个向量运算，它产生一个新的向量，这个新向量垂直于原来的两个向量，且其长度等于原来两个向量长度的乘积与它们之间夹角的正弦值的乘积。对于三维向量 \(\mathbf{a} = (a_1, a_2, a_3)\) 和 \(\mathbf{b} = (b_1, b_2, b_3)\)，叉积的计算公式为：

\[ \mathbf{a} \times \mathbf{b} = \begin{vmatrix}

\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\

a_1 & a_2 & a_3 \\

b_1 & b_2 & b_3 \\

\end{vmatrix} \]

其中 \(\mathbf{i}\), \(\mathbf{j}\), \(\mathbf{k}\) 是直角坐标系中的基向量。叉积的结果是一个向量，其方向遵循右手定则，即右手大拇指指向第一个向量，食指指向第二个向量，那么中指的方向就是叉积向量的方向。

叉积在物理学中用于计算力矩、在计算机图形学中用于计算平面法线等。

2、向量的模

向量的模（或长度）是向量在空间中的大小，对于三维向量 \(\mathbf{a} = (a_1, a_2, a_3)\)，模的计算公式为：

\[ \|\mathbf{a}\| = \sqrt{a_1^2 + a_2^2 + a_3^2} \]

在二维空间中，向量的模计算公式为：

\[ \|\mathbf{a}\| = \sqrt{a_1^2 + a_2^2} \]

向量的模在计算向量的单位向量、判断向量的相似性以及解决几何和物理问题时都十分有用。

总结来说，两个向量垂直时，它们的点积等于0，这是判断向量垂直性的一个重要依据。同时，向量的叉积和模也是向量运算中的重要概念，它们在不同领域有着广泛的应用。