连续且可导一定可微吗

连续且可导不一定可微。

在数学分析中，连续性和可导性是函数性质的两种基本特征。然而，这两个概念之间并不总是等价的。以下是对这一问题的详细解释。

首先，我们来看什么是连续性和可导性。

连续性：一个函数在某点连续，意味着在该点的函数值等于该点的极限值。即如果函数f(x)在某点x=a连续，那么对于任意小的正数ε，都存在一个正数δ，使得当x在a的δ邻域内时，|f(x) - f(a)| < ε。

可导性：一个函数在某点可导，意味着在该点存在导数。即如果函数f(x)在某点x=a可导，那么存在一个数f'(a)，使得当x接近a时，函数增量Δy与自变量增量Δx的比值的极限存在，并且等于f'(a)。

现在，我们来探讨连续性和可导性之间的关系。

根据微积分的基本定理，如果一个函数在某点可导，那么它在该点必然连续。这是因为可导性的定义本质上就是极限过程，而极限过程保证了函数值在接近某点时的连续性。

然而，反过来说，如果一个函数在某点连续，它不一定在该点可导。一个经典的例子是函数f(x) = |x|在x=0处的表现。这个函数在x=0处连续，因为左右极限都存在并且相等，均为0。但是，这个函数在x=0处不可导，因为左导数和右导数不相等。

在更一般的情况下，一个函数可能在某点连续，但由于在该点存在“尖点”或“拐角”，导致其在该点的导数不存在。例如，考虑函数f(x) = x^2*sin(1/x)（x ≠ 0），在x=0处连续，但不可导，因为当x趋近于0时，函数值会振荡，导致导数的极限不存在。

因此，我们可以得出结论：连续且可导是两个不同的性质，一个函数在某点连续并不必然意味着它在该点可导。