设a是正定矩阵,证明

设a是正定矩阵，证明其特征值均为正数。

要证明一个正定矩阵的所有特征值都是正数，我们可以从正定矩阵的定义和性质入手。

首先，我们回顾一下正定矩阵的定义。一个n阶实对称矩阵A称为正定矩阵，如果对于任意非零向量x，都有x^T A x > 0，其中x^T表示x的转置。

接下来，我们从以下几个步骤来证明：

1. 实对称矩阵与特征值的关系：

根据线性代数的知识，任意实对称矩阵都可以通过正交变换对角化，即存在一个正交矩阵Q，使得Q^T A Q = Λ，其中Λ是一个对角矩阵，其对角线上的元素就是矩阵A的特征值。

2. 正定矩阵的性质：

由于A是正定矩阵，根据定义，对于任意非零向量x，有x^T A x > 0。特别地，取x为特征向量，设λ为对应的特征值，则有x^T A x = λ(x^T x) > 0。因为x是非零向量，所以x^T x > 0，从而可以推出λ > 0。

3. 特征值的正定性：

根据上述步骤，我们已经知道，对于正定矩阵A，其特征值λ都满足λ > 0。这是因为任何特征向量x对应的特征值λ都满足x^T A x > 0。

4. 结论：

由于正定矩阵A可以通过正交变换对角化，且对角矩阵Λ的对角线元素就是A的特征值，而我们已经证明了对角线上的每个元素λ都是正数，因此可以得出结论：正定矩阵A的所有特征值都是正数。

综上所述，我们通过正定矩阵的定义、实对称矩阵的性质以及特征向量和特征值的关系，证明了正定矩阵的所有特征值均为正数。