证明不变子空间的充要条件

一个子空间W是线性变换T的不变子空间，当且仅当W中的任意向量在T作用下的像仍然在W中。

1. 定义回顾：

首先，回顾不变子空间的定义：若线性变换T作用在一个线性空间V上的子空间W，使得对于W中的任意向量v，T(v)也属于W，则称W为T的不变子空间。

2. 证明必要性：

假设W是T的不变子空间，即对于所有v属于W，都有T(v)属于W。

选取W中的任意向量v，由于v属于W，根据定义，T(v)也属于W。

因此，W中的任意向量的像都在W中，证明了必要性。

3. 证明充分性：

假设对于所有v属于W，T(v)都属于W。

对于W中的任意向量v，根据假设，T(v)属于W。

因此，W中的向量在T作用下的像仍然在W中，证明了充分性。

4. 结论：

由必要性和充分性的证明，我们可以得出结论：一个子空间W是线性变换T的不变子空间，当且仅当W中的任意向量在T作用下的像仍然在W中。

5. 例子：

可以通过具体的例子来展示这一理论，例如考虑二维实向量空间的旋转变换，其不变子空间可能是一条通过原点的直线。

通过上述步骤，我们不仅证明了不变子空间的充要条件，而且也加深了对这一概念的理解。