交错级数条件收敛的充要条件

交错级数条件收敛的充要条件是莱布尼茨判别法。

交错级数是指级数中的项按照一定的规律交替出现正负号，例如 \((-1)^n a_n\) 形式的级数，其中 \(a_n\) 是正数且随着 \(n\) 的增大而单调递减到0。交错级数的条件收敛是指级数收敛，但其绝对值级数发散。

莱布尼茨判别法是判断交错级数条件收敛的一个基本工具，其内容如下：

莱布尼茨判别法：

设交错级数 \(\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n a_n\) 中，若满足以下两个条件：

1. \(a_n\) 是正数序列，且随着 \(n\) 的增大单调递减到0，即 \(a_{n+1} \leq a_n\) 且 \(\lim_{n \to \infty} a_n = 0\)。

2. \(a_n\) 的极限值为0，即 \(\lim_{n \to \infty} a_n = 0\)。

则该交错级数条件收敛。

证明：

证明交错级数 \(\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n a_n\) 的条件收敛，可以通过以下步骤进行：

1. 由于 \(a_n\) 是正数序列且单调递减到0，因此 \(\sum_{n=1}^{\infty} a_n\) 是一个正项级数。

2. 根据正项级数的性质，若 \(\lim_{n \to \infty} a_n = 0\)，则该级数可能收敛。

3. 设 \(S_n = \sum_{k=1}^{n} (-1)^k a_k\) 是交错级数的部分和。

4. 考虑交错级数的部分和 \(S_n\) 与其对应的绝对值级数的部分和 \(\sum_{k=1}^{n} a_k\) 之间的关系。

5. 由于 \(a_n\) 单调递减到0，因此 \(S_{2n} \geq S_{2n+1}\)。

6. 根据夹逼准则，当 \(n\) 趋于无穷大时，\(S_n\) 被夹在两个单调收敛的数列 \(\sum_{k=1}^{n} a_k\) 和 \(\sum_{k=1}^{2n} a_k\) 之间。

7. 由于 \(\sum_{k=1}^{n} a_k\) 收敛，故 \(\sum_{k=1}^{2n} a_k\) 也收敛，从而 \(\lim_{n \to \infty} S_n\) 存在。

8. 因此，交错级数 \(\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n a_n\) 条件收敛。

综上所述，莱布尼茨判别法是交错级数条件收敛的充要条件。