正弦和余弦为什么差90度

正弦和余弦差90度是因为它们分别描述了直角三角形中不同角度的边与斜边的关系，这两个关系在单位圆上表现为正弦和余弦函数的值，而这些函数的图像在标准坐标系中相互错开90度。

在直角三角形中，我们有两个基本的三角函数：正弦（sine）和余弦（cosine）。这两个函数分别描述了直角三角形中锐角的对边和邻边与斜边的关系。具体来说：

正弦（sin）定义为锐角的对边与斜边的比值。如果我们设这个锐角为θ，那么sin(θ) = 对边/斜边。

余弦（cos）定义为锐角的邻边与斜边的比值。同样地，cos(θ) = 邻边/斜边。

在单位圆的几何背景下，我们可以更直观地理解正弦和余弦函数。单位圆是一个半径为1的圆，其圆心位于坐标系的原点。在这个圆上，我们可以定义一个点P，其坐标为（cos(θ), sin(θ)），其中θ是点P与x轴正方向的夹角。

当θ = 0度时，点P位于x轴上，此时cos(θ) = 1（因为邻边与斜边相同），而sin(θ) = 0（因为对边长度为0）。

随着θ增加到90度，点P会移动到y轴上。此时，cos(θ) = 0（因为邻边长度为0），而sin(θ) = 1（因为对边与斜边相同）。

因此，我们可以看到，当θ从0度增加到90度时，cos(θ)的值从1逐渐减少到0，而sin(θ)的值从0增加到1。这意味着在标准坐标系中，余弦函数的图像是从左到右下降的，而正弦函数的图像是从左到右上升的。它们在θ = 90度时相交，并且余弦函数在90度时的值是正弦函数在0度时的值，即cos(90°) = sin(0°)。

这种关系在数学上表现为两个函数之间的相位差，即余弦函数相对于正弦函数在坐标系中错开了90度。这种错开是周期性的，因为正弦和余弦函数都是周期函数，周期为360度或2π弧度。

总结来说，正弦和余弦差90度的原因在于它们在单位圆上的定义和图像表现。正弦函数描述了对边的变化，而余弦函数描述了邻边的变化，这两个函数在标准坐标系中相互错开90度，反映了它们在直角三角形中不同的几何意义。