等底等高的圆柱正方体体积相同吗

等底等高的圆柱和正方体的体积不相同。

在讨论等底等高的圆柱和正方体的体积是否相同时，首先需要明确这两个几何体的体积公式。

圆柱的体积公式为：\( V_{\text{圆柱}} = \pi r^2 h \)，其中 \( r \) 是圆柱底面半径，\( h \) 是圆柱的高。

正方体的体积公式为：\( V_{\text{正方体}} = a^3 \)，其中 \( a \) 是正方体的边长。

当提到“等底等高”时，我们通常指的是两个几何体的底面积相等，并且它们的高也相等。对于圆柱和正方体，这意味着：

1. 圆柱的底面积 \( \pi r^2 \) 等于正方体底面积 \( a^2 \)。

2. 圆柱的高 \( h \) 等于正方体的边长 \( a \)。

根据这些条件，我们可以得出：

圆柱的体积 \( V_{\text{圆柱}} = \pi r^2 h \)。

正方体的体积 \( V_{\text{正方体}} = a^3 \)。

由于 \( \pi r^2 = a^2 \) 和 \( h = a \)，我们可以将圆柱的体积公式改写为：

\( V_{\text{圆柱}} = \pi r^2 h = \pi a^2 h \)。

现在，如果我们将 \( h \) 替换为 \( a \)，得到：

\( V_{\text{圆柱}} = \pi a^2 a = \pi a^3 \)。

这与正方体的体积公式 \( V_{\text{正方体}} = a^3 \) 不同，因为 \( \pi a^3 \) 包含了一个额外的 \( \pi \) 因子。

因此，即使底面积和高都相等，圆柱的体积和正方体的体积也不相同。圆柱的体积是 \( \pi \) 倍于正方体的体积。这是因为圆柱底面是圆形，而正方体底面是正方形，圆形的面积（通过 \( \pi \) 来度量）总是大于或等于同边长的正方形面积。

综上所述，等底等高的圆柱和正方体的体积不相同，圆柱的体积总是大于正方体的体积。