怎样由正交矩阵转化为标准二次型

通过正交矩阵将二次型转化为标准二次型。

在数学的线性代数领域中，二次型是一个非常重要的概念，它是由多个变量的二次项以及它们的线性项组成的表达式。二次型通常表示为 \( f(x_1, x_2, \ldots, x_n) = x^T A x \)，其中 \( x \) 是一个 \( n \) 维向量，\( A \) 是一个 \( n \times n \) 的实对称矩阵。

要将二次型转化为标准二次型，我们需要进行坐标变换，而正交矩阵在这一过程中扮演了关键角色。以下是详细的步骤和解释：

1. 确定二次型矩阵：首先，我们需要确定二次型 \( f(x_1, x_2, \ldots, x_n) = x^T A x \) 对应的实对称矩阵 \( A \)。

2. 求矩阵的特征值和特征向量：对于矩阵 \( A \)，我们需要找出它的所有特征值和对应的特征向量。由于 \( A \) 是实对称矩阵，因此它的特征向量一定是正交的。

3. 施密特正交化：如果矩阵 \( A \) 的特征向量组不是正交的，我们可以使用施密特正交化过程来得到一组正交的特征向量。

4. 单位化特征向量：将得到的正交特征向量单位化，即除以其模长，得到单位特征向量。

5. 构造正交矩阵：使用单位化后的特征向量作为列向量，构造一个正交矩阵 \( Q \)。由于特征向量是正交的，所以 \( Q \) 也是一个正交矩阵。

6. 正交变换：通过正交变换 \( x = Qy \)，我们可以将原二次型 \( f(x_1, x_2, \ldots, x_n) \) 转化为新的二次型 \( g(y_1, y_2, \ldots, y_n) = y^T Q^T A Q y \)。

7. 简化新二次型：由于 \( Q^T Q = QQ^T = I \)（单位矩阵），新二次型可以简化为 \( g(y_1, y_2, \ldots, y_n) = y^T A y \)。如果 \( A \) 的特征值都是正的，那么 \( A \) 是正定矩阵，此时 \( g(y) \) 将是一个标准二次型，即仅包含正的平方项。

通过这个过程，我们成功地利用正交矩阵将二次型转化为标准二次型，其中标准二次型仅包含平方项，没有交叉项。这种方法不仅简化了二次型的表达，而且有助于我们更好地理解和分析二次型的性质。