开环根轨迹增益怎么求

开环根轨迹增益可以通过求解系统传递函数的极点来求得。

开环根轨迹增益是指当系统开环传递函数的增益变化时，闭环系统极点在复平面上移动的轨迹。求开环根轨迹增益的步骤如下：

1. 确定系统的开环传递函数：首先需要知道系统的开环传递函数，通常形式为 \( H(s) = \frac{G(s)}{1 + G(s)H(s)} \)，其中 \( G(s) \) 是系统的前向传递函数，\( H(s) \) 是反馈传递函数。

2. 求解系统特征方程：开环系统的特征方程是 \( 1 + G(s)H(s) = 0 \)。将开环传递函数代入特征方程，可以得到一个关于 \( s \) 的多项式方程。

3. 求解特征方程的根：解这个多项式方程，可以得到系统特征方程的根，即闭环系统的极点。这些极点将随开环增益的变化在复平面上移动，形成根轨迹。

4. 确定增益范围：根轨迹增益的变化范围可以从极点移动的起始点和终止点来确定。通常，根轨迹的起始点是闭环系统稳定的极点，而终止点是不稳定的极点。

5. 计算增益值：对于特定的极点移动位置，可以通过将对应的极点代入特征方程，解出对应的增益值。例如，如果特征方程的根是 \( s = a + bi \)，那么对应的增益 \( K \) 可以通过解方程 \( 1 + G(a + bi)H(a + bi) = 0 \) 来求得。

6. 绘制根轨迹：根据不同的增益值，可以绘制出闭环系统极点在复平面上的移动轨迹，即根轨迹。

需要注意的是，根轨迹增益的计算通常需要借助数值方法或图形工具，因为直接解析求解可能非常复杂。在工程实践中，常使用Root Locus工具或软件来辅助进行根轨迹分析和增益计算。