两圆相切的性质定理证明

两圆相切时，切点必与两圆心共线，且圆心距等于两圆半径之和或差。

首先，我们回顾一下两圆相切的判定条件。两圆相切可以分为两种情况：外切和内切。

1. 外切：当两圆外切时，它们的圆心距等于两圆半径之和。设两圆的半径分别为r1和r2，圆心距为d，则有d = r1 + r2。此时，两圆只有一个交点，即切点P，且切点P与两圆心O1和O2共线。

2. 内切：当两圆内切时，它们的圆心距等于两圆半径之差。设两圆的半径分别为r1和r2（r1 > r2），圆心距为d，则有d = r1 - r2。此时，两圆同样只有一个交点，即切点P，且切点P与两圆心O1和O2共线。

接下来，我们来证明这个性质定理。

证明：

设两圆分别为圆O1和圆O2，圆心分别为O1和O2，切点为P。

（1）外切情况：连接O1P和O2P，得到两条半径OP1和OP2。由于O1P和O2P都是半径，它们分别垂直于切线，即O1P⊥切线，O2P⊥切线。因此，O1P和O2P互相平行。由于O1P和O2P都是半径，它们与圆心O1和O2的连线垂直于切线，所以O1P和O2P与切线构成的三角形O1PO2是直角三角形。根据勾股定理，有O1O2^2 = O1P^2 + O2P^2。又因为O1P = r1，O2P = r2，所以O1O2^2 = r1^2 + r2^2。由此可得O1O2 = r1 + r2，即圆心距等于两圆半径之和。

（2）内切情况：连接O1P和O2P，得到两条半径OP1和OP2。同样地，由于O1P和O2P都是半径，它们分别垂直于切线，即O1P⊥切线，O2P⊥切线。因此，O1P和O2P互相平行。由于O1P和O2P都是半径，它们与圆心O1和O2的连线垂直于切线，所以O1P和O2P与切线构成的三角形O1PO2是直角三角形。根据勾股定理，有O1O2^2 = O1P^2 + O2P^2。又因为O1P = r1，O2P = r2（r1 > r2），所以O1O2^2 = r1^2 - r2^2。由此可得O1O2 = r1 - r2，即圆心距等于两圆半径之差。

综上所述，我们证明了当两圆相切时，切点必与两圆心共线，且圆心距等于两圆半径之和或差。