如何求向量在基下的坐标

向量在基下的坐标可以通过基向量与原向量的线性组合来求得，具体步骤如下：

1. 确定基向量：首先，你需要知道给定向量空间的基向量。基向量是一组线性无关的向量，它们可以用来表示空间中的任何向量。基向量通常用列向量表示，例如在一个二维空间中，基向量可能是 \(\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}\) 和 \(\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}\)，在三维空间中可能是 \(\begin{bmatrix}1\\0\\0\end{bmatrix}\), \(\begin{bmatrix}0\\1\\0\end{bmatrix}\), \(\begin{bmatrix}0\\0\\1\end{bmatrix}\)。

2. 线性组合：任何向量 \( \vec{v} \) 可以表示为基向量的线性组合，即 \( \vec{v} = a_1\vec{e}_1 + a_2\vec{e}_2 + \ldots + a_n\vec{e}_n \)，其中 \( \vec{e}_1, \vec{e}_2, \ldots, \vec{e}_n \) 是基向量，\( a_1, a_2, \ldots, a_n \) 是对应的坐标（系数）。

3. 求解坐标：为了找到这些坐标，我们可以将向量 \( \vec{v} \) 写成矩阵形式，即 \( \begin{bmatrix}v_1\\v_2\\ \vdots \\v_n\end{bmatrix} \)，然后构建一个由基向量组成的矩阵 \( E = \begin{bmatrix}\vec{e}_1 & \vec{e}_2 & \ldots & \vec{e}_n\end{bmatrix} \)。接下来，我们解线性方程组 \( E\vec{x} = \vec{v} \)，其中 \( \vec{x} = \begin{bmatrix}a_1\\a_2\\ \vdots \\a_n\end{bmatrix} \) 是我们要求的坐标向量。解这个方程组通常可以通过矩阵的逆运算或者高斯消元法、克拉默法则等方法实现。

4. 验证结果：最后，你可以将得到的坐标代入线性组合的公式，验证是否能得到原始的向量 \( \vec{v} \)。

1、如何求向量的长度

向量的长度，也称为向量的模或范数，通常用 \( \|\vec{v}\| \) 表示。在二维或三维空间中，向量 \( \vec{v} = \begin{bmatrix}v_1\\v_2\end{bmatrix} \) 或 \( \vec{v} = \begin{bmatrix}v_1\\v_2\\v_3\end{bmatrix} \) 的长度可以通过勾股定理计算，即 \( \|\vec{v}\| = \sqrt{v_1^2 + v_2^2} \) 或 \( \|\vec{v}\| = \sqrt{v_1^2 + v_2^2 + v_3^2} \)。在更高维度的空间中，向量的长度可以通过欧几里得范数定义，即 \( \|\vec{v}\| = \sqrt{v_1^2 + v_2^2 + \ldots + v_n^2} \)。

2、如何求向量的内积

向量的内积，也称为点积或标量积，表示两个向量的投影之和。对于两个向量 \( \vec{a} = \begin{bmatrix}a_1\\a_2\\ \vdots \\a_n\end{bmatrix} \) 和 \( \vec{b} = \begin{bmatrix}b_1\\b_2\\ \vdots \\b_n\end{bmatrix} \)，它们的内积定义为 \( \vec{a} \cdot \vec{b} = a_1b_1 + a_2b_2 + \ldots + a_nb_n \)。内积的结果是一个标量，它与两个向量的长度和它们之间的夹角有关。当两个向量平行时，内积最大；当它们垂直时，内积为零。

通过以上步骤，你可以求得向量在基下的坐标，并进一步了解向量的长度和内积等重要性质，这对于理解向量空间和线性代数的理论以及实际应用都至关重要。